解:(1)∵在△ACO中,∠OAC=60°,OC=OA ∴△ACO是等边三角形 ∴∠AOC=60° (2)∵CP与⊙O相切,OC是半径 ∴CP⊥OC ∴∠P=90°-∠AOC=30° ∴PO=2CO=8; (3)如图, ①作点C关于直径AB的对称点M1,连接AM1,OM1 易得,∠AOM1=60° ∴×60°=, ∴当点M运动到M1时,S△MAO=S△CAO,此时点M经过的弧长为, ②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2,连接AM2,OM2, 易得=S△CAO ∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60° ∴或 ∴当点M运动到M2时,S△MAO=S△CAO,此时点M经过的弧长为, ③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3,连接AM3,OM3, 易得=S△CAO ∴∠BOM3=60°, ∴或 ∴当点M运动到M3时,S△MAO=S△CAO,此时点M经过的弧长为, ④当点M运动到C时,M与C重合,S△MAO=S△CAO, 此时点M经过的弧长为或。
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