已知:如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上的点,将DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE,延长ED交AC于点F,连结DC、AE。(1)求证:△ADE≌△DF

已知:如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上的点,将DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE,延长ED交AC于点F,连结DC、AE。(1)求证:△ADE≌△DF

题型:北京期末题难度:来源:
已知:如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上的点,将DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE,延长ED交AC于点F,连结DC、AE。
(1)求证:△ADE≌△DFC;
(2)过点E作EH∥DC交DB于点G,交BC于点H,连结AH。求∠AHE的度数;
(3)若BG=,CH=2,求BC的长。
答案
解:(1)如图,
∵ 线段DB顺时针旋转60°得线段DE,
∴ ∠EDB =60°,DE=DB
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠B=∠ACB =60°
∴ ∠EDB =∠B 
∴ EF∥BC
∴ DB=FC,∠ADF=∠AFD =60°
∴ DE=DB=FC,∠ADE=∠DFC =120°,△ADF是等边三角形。
∴ AD=DF
∴ △ADE≌△DFC

(2)由 △ADE≌△DFC,
得 AE=DC,∠1=∠2
∵ ED∥BC, EH∥DC,
∴ 四边形EHCD是平行四边形。
∴ EH=DC,∠3=∠4
∴ AE=EH
∴ ∠AEH=∠1+∠3=∠2+∠4 =∠ACB=60°
∴ △AEH是等边三角形
∴∠AHE=60°;
(3)设BH=x,则AC= BC =BH+HC= x+2,
由(2)四边形EHCD是平行四边形,
∴ ED=HC
∴ DE=DB=HC=FC=2
∵ EH∥DC,
∴ △BGH∽△BDC

解得x=1
∴ BC=3。
举一反三
如图,在⊙O中,两弦AD∥BC,AC、BD相交于点E,连接AB、CD,图中的全等三角形共有(    )对。
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对于两个图形,给出下列结论:①两个图形的周长相等;②两个图形的面积相等;③两个图形的周长和面积都相等;④两个图形的形状相同,大小也相等。其中能获得这两个图形全等的结论共有[     ]
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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下列说法正确的是 [     ]
A.若Rt△ABC≌△DEF,且△ABC的两条直角边分别是水平和竖直状态,那么△DEF的两条直角边也一定分别是水平和竖直状态
B.如果△ABC≌△DEF,△DEF≌△GHK,那么△ABC≌△GHK
C.有一条公共边,而且公共边在每个三角形中都是腰的两个等腰三角形一定全等
D.有一条相等的边,而且相等的边在每个三角形中都是底边的两个等腰三角形全等
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如图所示,沿直线AC对折,△ABC与△ADC重合,则△ABC≌△ADC,AB的对应边是(    ),BC的对应边是(    ),∠BCA的对应角是(    )。
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如图所示,AE、BD相交于点C,要使△ABC≌△EDC,至少要添加的条件是(    ),理由是(    )。
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