如图一,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE.我们探究下列图中线
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如图一,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE.我们探究下列图中线
题型:黑龙江省期末题
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如图一,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系:
①猜想如图一中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系;并证明你的结论。
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度
,得到如图2、如图三情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图二证明你的判断.
答案
(1)解:BG=DE BG ⊥DE
证明:∵四边形ABCD 和四边形CEFD 为正方形
∴BC=CD CG=CE ∠BCG= ∠DCE=90°
在△BCG 和△DCE 中
=90°
△
BCG≌△DCE(SAS)
∴BG=DE ∠CBG=∠CDE
延长BG交DE于M
∵∠BGC=∠DGM(对顶角相等)
∴∠DMG=180°-∠CDE-∠DGM
=180°-∠CBG-∠BGC
=90°
∴BG⊥DE(垂直的定义)
(2)解:BG=DE BG⊥DE
∵四边形ABCD和四边形CEFD为正方形
∴BC=CD CG=CE ∠BCD=∠GCE=90°
∴∠BCD+∠DCG =∠GCE+∠DCG
∴∠BCG=∠DCE
在△BCG和△DCE中
=90°
△
BCG≌△DCE(SAS)
∴BG=DE ∠CBG=∠CDE
∵∠BHC=∠DHO(对顶角相等)
∴∠DOH=180°-∠CDE-∠DHO
=180°-∠CBG-∠BHC
=90°
∴BG⊥DE(垂直的定义)
举一反三
如图,已知在平行四边形
中,
. 求证:
.
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