如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA。（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA。
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD。

答案

证明：（1）在等腰直角△ABC中，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD，
又∵CA=CB，
∴△BDC≌△ADC（SAS），
∴∠DCA=∠DCB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠DCA=∠DCB=45°，
∵∠BDM=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，
∴∠BDM=∠EDC，
∴DE平分∠BDC； （2）如图，连接MC，
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD，
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，
∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC，
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM=15°，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=BD。