如图,OC是∠AOB的角平分线,P是OC上一点,PE⊥OA交OA于E,PF⊥OB 交OB于F,Q是OC上的另一点,连接QE,QF.求证:QE=QF.

如图,OC是∠AOB的角平分线,P是OC上一点,PE⊥OA交OA于E,PF⊥OB 交OB于F,Q是OC上的另一点,连接QE,QF.求证:QE=QF.

题型:不详难度:来源:
如图,OC是∠AOB的角平分线,P是OC上一点,PE⊥OA交OA于E,PF⊥OB 交OB于F,Q是OC上的另一点,连接QE,QF.求证:QE=QF.魔方格
答案
证明:∵PE⊥OA,PF⊥OB,
∴∠OEP=∠OFP=90°,
又∵∠AOC=∠BOC(角平分线的性质),
∴∠OPE=∠OPF,(1分)
即OP平分∠EPF,
∴OE=OF,(4分)
在△OEQ和△OFQ中





OE=OF
∠EOQ=∠FOQ
OQ=OQ(公共边)

∴△OEQ≌△OFQ(SAS),(7分)
∴QE=QF.(8分)
举一反三
如图,三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域,某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三个条公路的距离相等,则这个集贸市场应建在(  )
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A.在AC、BC两边高线的交点处
B.在AC、BC两边中线的交点处
C.在∠A、∠B两内角平分线的交点处
D.在AC、BC两边垂直平分线的交点处
如图,P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,下列结论中不正确的是(  )
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A.PE=PFB.AE=AFC.△APE≌△APFD.AP=PE+PF
如图,三条直线两两相交,到三条直线的距离相等的点有______个.魔方格
在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等,则点P应是△ABC的(   )
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A.三条高的交点B.三内角角平分线的交点
C.三条中线的交点D.三边垂直平分线的交点
如图,在△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,DE⊥BC于E,有下列下列结论:
①AD=ED;②AB+CE=AC;③∠BDE=∠BDA;④DB平分∠ADE;⑤S△ABD:S△BCD=AB:BC.
其中正确的有(  )
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