阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边

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阅读下列材料：
我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形.
结合阅读材料，完成下列问题：
（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形（）

A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．等腰梯形

（2）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°.若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB="BC," 请直接写出∠ABC的度数.

答案

（1） C ；（2）∠ABC的度数为60°或90°或150°.

解析

试题分析：（1）根据菱形的性质和和谐四边形定义，直接得出结论.
（2）根据和谐四边形定义，分AD=CD，AD=AC，AC=DC讨论即可.
（1）根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够．故选C.
（2）∵等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°，∴AB=AD.
∵AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，
∴分三种情况讨论：
若AD=CD，如图1，则凸四边形ABCD是正方形，∠ABC=90°；
若AD=AC，如图 2，则AB=AC=BC，△ABC是等边三角形，∠ABC=60°；
若AC=DC，如图 3，则可求∠ABC=150°.

举一反三

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

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如图，已知

中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB=BE．

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小明遇到这样一个问题：“如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．”
分析时，小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个正方形（无缝隙不重叠），则这个正方形的边长为_______
（2）求正方形MNPQ的面积．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=