解:(1)证明:∵∠DNC+∠ADF=90°,∠DNC+∠DCN=90°,∴∠ADF=∠DCN。 在△ADF与△DNC中,∵, ∴△ADF≌△DNC(ASA)。∴DF=MN。 (2)①该命题是真命题。理由如下: 当点F是边AB中点时,则AF=AB=CD。 ∵AB∥CD,∴△AFE∽△CDE, ∴。∴AE=EC,则AE=AC=a。∴。 ∴CM=1•t=a=CD。 ∴点M为边CD的三等分点 ②能。理由如下: 易证AFE∽△CDE,∴,即,得。 易证△MND∽△DFA,∴,即,得ND=t。 ∴ND=CM=t,AN=DM=a﹣t。 若△MNF为等腰三角形,则可能有三种情形: (I)若FN=MN,则由AN=DM知△FAN≌△NDM, ∴AF=DM,即=t,得t=0,不合题意。∴此种情形不存在。 (II)若FN=FM,由MN⊥DF知,HN=HM,∴DN=DM=MC, ∴t=a,此时点F与点B重合。 (III)若FM=MN,显然此时点F在BC边上,如图所示,
易得△MFC≌△NMD,∴FC=DM=a﹣t。 又由△NDM∽△DCF,∴,即 ∴。 ∴=a﹣t。 ∴t=a,此时点F与点C重合。 综上所述,当t=a或t=a时,△MNF能够成为等腰三角形。 |