矩形的性质,相似 如图,过点P分别作四个三角形的高,
∵△APD以AD为底边,△PBC以BC为底边, ∴此时两三角形的高的和为AB, ∴S1+S3=S矩形ABCD; 同理可得出S2+S4=S矩形ABCD。 ∴②S2+S4= S1+ S3正确,则①S1+S2=S3+S4错误。 若S3="2" S1,只能得出△APD与△PBC高度之比,S4不一定等于2S2;故结论③错误。 如图,若S1=S2,则×PF×AD=×PE×AB,
∴△APD与△PBA高度之比为:PF:PE =AB:AD 。 ∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°,∴四边形AEPF是矩形, ∴矩形AEPF∽矩形ABCD。连接AC。 ∴PF:CD ="PE" :BC=AP:AC, 即PF:CD ="AF" :AD=AP:AC。 ∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点A、P、C共线。∴P点在矩形的对角线上。 故结论④正确。 综上所述,结论②和④正确。 |