如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点M是BC的中点,且MA=MD.求证:四边形ABCD是等腰梯形.

如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点M是BC的中点,且MA=MD.求证:四边形ABCD是等腰梯形.

题型:不详难度:来源:
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点M是BC的中点,且MA=MD.

求证:四边形ABCD是等腰梯形.
答案

解析
证明:∵ MA=MD,∴ △MAD是等腰三角形,
∴ ∠DAM=∠ADM.                     ……(1分)
∵ AD∥BC,
∴ ∠AMB=∠DAM,∠DMC=∠ADM.
∴ ∠AMB=∠DMC.                     ……(3分)
又∵ 点M是BC的中点,∴ BM=CM.               ……(4分)
在△AMB和△DMC中,
   
∴ △AMB≌△DMC.                    ……(5分)
∴ AB=DC,四边形ABCD是等腰梯形.            ……(6分)
举一反三
如图4,在图(1)中,A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点,在图(2)中,A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1 A1、 A1B1的中点,…,按此规律,则第n个图形中平行四边形的个数共有     个.
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(8分)如图6,的两条对角线相交于点

图中有哪些三角形是全等的?
选出其中一对全等三角形进行证明.
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(10分)
云南年秋季以来遭遇百年一遇的全省性特大旱灾,部分坝塘干涸,小河、小溪断流,更为严重的情况是有的水库已经见底,全省库塘蓄水急剧减少,为确保城乡居民生活用水,有关部门需要对某水库的现存水量进行统计,以下是技术员在测量时的一些数据:水库大坝的横截面是梯形(如图所示),为水面,点   上,测得背水坡的长为米,倾角,迎水坡上线段的长为米,

(1)请你帮技术员算出水的深度(精确到米,参考数据);
(2)就水的深度而言,平均每天水位下降必须控制在多少米以内,才能保证现有水量至少能使用天?(精确到米)
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(本题满分8分)
如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于点E.求证:四边形AECD是菱形.
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(9分)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB = 90°,E是AD的中点,点P是BC边上的动点(不与点B重合),EP与BD相交于点O.

(1)当P点在BC边上运动时,求证:△BOP∽△DOE;
(2)设(1)中的相似比为,若AD︰BC = 2︰3. 请探究:当k为下列三种情况时,四边形ABPE是什么四边形?①当= 1时,是          ;②当= 2时,是             ;③当= 3时,是                 . 并证明= 2时的结论.
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