解:(1)四边形BCDE是菱形。理由是: ∵△BCD沿对角线BD折叠后,点C刚好落在AB边上的点E处, ∴△BCD与△BED重合, ∴DC=DE,BC=BE,∠CBD=∠EBD, 又∵AB∥CD, ∴∠CDB=∠EBD, ∴∠CBD=∠CDB, ∴DC=BC, ∴DC=DE=BC=BE, ∴四边形BCDE是菱形; (2)过点D作DF⊥AB于F, ∵四边形ABCD是等腰梯形,AD=BC,AB∥CD, ∴∠A=∠ABC=60°,∠A+∠ADC=180°, ∴∠ADC=120°, 又∵四边形BCDE是菱形, ∴∠EDC=∠ABC=60°,DC=DE=BC=BE=2, ∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=120°-60°=60°, ∴∠A=∠ADC=60°, ∴DE=AE=AD=2 即:△ADE是等边三角形, 又∵DF⊥AB AE=2, ∴AF=1, 在RT△ADF中, ∵DF=, 又∵DC=2,AB=4, ∴S梯形ABCD==。
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