已知：如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的

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已知：如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论。

答案

解：四边形PQMN为菱形，
证明如下：
如图，连结AC、BD，
∵ PQ为△ABC的中位线，
∴ PQAC，
同理MNAC，
∴MNPQ，
∴ 四边形PQMN为平行四边形，
在△AEC和△DEB中，
AE=DE，EC=EB，∠AED=60°=∠CEB，
 即 ∠AEC=∠DEB，
∴ △AEC≌△DEB，
∴ AC=BD，
∴ PQ=AC=BD=PN，
∴ PQMN为菱形。