(1)①∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD=AD,∠ABD=∠BDC=45°. ∵点G、E分别是AB、BC的中点, ∴AG=BG=AB,BE=CE=BC, ∴AG=BG=BE=CE. ∴∠BGE=45°, ∴∠AGE=135°. ∵CF平分∠DCN, ∴∠DCF=∠NCF=45°, ∴∠ECF=135°. ∴∠AGE=∠ECF. ∵∠AEF=90°, ∴∠AEB+∠FEN=90°. ∵∠AEB+∠BAE=90°, ∴∠BAE=∠FEC, 在△AEG≌△EFC中, , ∴△AEG≌△EFC(ASA) ②作FN⊥BC于N, ∴∠FNC=90°, ∴∠ABE=∠ENF. ∵△AEG≌△EFC, ∴AE=EF. 在△ABE和△ENF中, , ∴△ABE≌△ENF(AAS), ∴FN=BE, ∵∠CFN=45°, ∴CF=FN. 设AB=CD=AD=CD=2a, ∴BD=2a,CF=a, ∴=,=, ∴=, ∵∠ABD=∠FCD=45°, ∴△ABD∽△FCD, ∴∠ADB=∠FDC=45°, ∴∠BDF=90°, ∴DF⊥BD. (2)CF=BE.理由: 延长BA到M,使AM=CE,作FG⊥BC的延长线于G, ∴∠FGE=90°, ∴∠ABE=∠FGE. 在Rt△CFG中,由勾股定理.得 ∴CF=FG. ∴∠FGE=∠ABE. ∵∠AEF=90°, ∴∠FEG+∠AEB=90°. ∵∠BAE+∠AEB=90°, ∴∠BAE=∠FEG, ∴∠MAE=∠CEF. ∵AB=BC, ∴AB+AM=BC+CE, 即BM=BE. ∴∠M=45°, ∴∠M=∠FCE. 在△AME和△ECF中, , ∴AE=EF,∠MAE=∠CEF, ∴∠BAE=∠GEF 在△ABE和△CGF中, , ∴△ABE≌△CGF(AAS) ∴BE=FG, ∴CF=BE. |