如图,在直角梯形纸片ABCD中,AB∥DC,∠A=90°,CD>AD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点A落在边CD上的点E处,折痕为DF,连接EF并展开纸片
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如图,在直角梯形纸片ABCD中,AB∥DC,∠A=90°,CD>AD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点A落在边CD上的点E处,折痕为DF,连接EF并展开纸片
题型:湖北省期中题
难度:
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如图,在直角梯形纸片ABCD中,AB∥DC,∠A=90°,CD>AD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点A落在边CD上的点E处,折痕为DF,连接EF并展开纸片。
(1)求证:四边形ADEF是正方形;
(2)取线段AF的中点G,连接EG,如果BG=CD,试说明四边形GBCE是等腰梯形。
答案
证明:(1)∵∠A=90°,AB∥DC,
∴∠ADE=90°,
由沿DF折叠后△DAF与△DEF重合,
知AD=DE,∠ADF=∠EDF=45°,
∴AD=AF=ED=EF,
∴四边形ADEF是菱形,且∠A=90°,
∴四边形ADEF是正方形。
(2)∵CE∥BG,且CE≠BG,
∴四边形GBCE是梯形,
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=FE,∠A=∠GFE=90°,
又∵点G为AF的中点,
∴AG=FG,连接DG,
在△AGD与△FGE中,∵AD=FE,∠A=∠GFE,AG=FG,
∴△AGD≌△FGE,
∴∠DGA=∠EGB,
∵BG=CD,BG∥CD,
∴四边形BCDG是平行四边形,
∴DG∥CB,
∴∠DGA=∠B,
∴∠EGB=∠B,
∴四边形GBCE是等腰梯形。
举一反三
如图,已知正方形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,过O点作OE⊥OF分别交DC于E,交BC于F,∠FEC的角平分线EP交直线AC于P。
(1)①求证:OE=OF;
②写出线段EF、PC、BC之间的一个等量关系式,并证明你的结论;
(2)如图2,当∠EOF绕O点逆时针旋转一个角度,使E、F分别在CD、BC的延长线上,请完成图形并判断(1)中的结论①、②是否分别成立?若不成立,写出相应的结论。(所写结论均不必证明)
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1
=S
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1
<S
2
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1
,S
2
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