已知PA=，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧。（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且

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已知PA=，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧。
（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；
（2）当∠APB变化，且其他条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小。

答案

解：（1）①如图（1），作AE⊥PB于点E， △APE中，∠APE=45°，PA=，
∴AE=PA·sin∠APE==1，PE=PA·cos∠APE==1，
∵PB=4，
∴BE=PB-PE=3，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴；
如图（2），因为四边形ABCD为正方形，可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P"AB，可得△PAD≌△P"AB，PD=P"B，PA=P"A
∴∠PAP"=90°，∠APP"=45°，∠P"PB=90°，
∴，
；

（2）如图（3）所示，将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P"AB，PD的最大值即为P"B的最大值，
∵△P"PB中，P"B<PP"+PB，PP"==2，PB=4，且P、D两点落在直线AB的两侧，
∴当P"、P、B三点共线时，P"B取得最大值（见图（4）），此时P"B=PP"+PB=6，即P"B的最大值为6，
此时∠APB=180°-∠APP"=135°。