试题分析:(1)如图1,连接FE、FC,构建全等三角形△ABF≌△CBF(SAS),则易证∠BAF=∠2,FA=FC;根据垂直平分线的性质、等量代换可知FE=FA,∠1=∠BAF,则∠5=∠6.然后由四边形内角和是360°、三角形内角和定理求得∠5+∠6=∠3+∠4,则∠5=∠4,即∠EAF=∠ABD; (2)FM=FN.理由如下:由△AFG∽△BFA,易得∠AGF=∠BAF,所以结合已知条件和图形得到∠MBG=∠BMG.易证△AGF∽△DGA,则对应边成比例:.即.设GF=2a(a>0),AG=3a,则GD=a,FD=a;利用平行线(BE∥AD)截线段成比例易得,则.设EG=2k(k>0),所以BG=MG=3k.如图2,过点F作FQ∥ED交AE于点Q.则又由FQ∥ED,易证得,所以FM=FN. 试题解析: 证明:如图1 连接FE、FC
∵点F在线段EC的垂直平分线上, ∴FE=FC ∴∠l=∠2 ∵△ABD和△CBD关于直线BD对称. ∴AB=CB,∠4=∠3,又BF=BF ∴△ABF≌△CBF,∴∠BAF=∠2,FA=FC ∴FE=FA,∠1=∠BAF. ∴∠5=∠6, ∵∠l+∠BEF=180º,∴∠BAF+∠BEF=180º ∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360º ∴∠AFE+∠ABE=180º 又∵∠AFE+∠5+∠6=180º, ∴∠5+∠6=∠3+∠4 ∴∠5=∠4,即∠EAF=∠ABD 解:FM=FN 证明:如图2,
由(1)可知∠EAF=∠ABD, 又∵∠AFB=∠GFA ∴△AFG∽△BFA ∴∠AGF=∠BAF 又∵∠MBF=∠BAF,∴∠MBF=∠AGF 又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG∴∠MBG=∠BMG ∴BG=MG ∵AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF 又∵∠FGA=∠AGD.∴△AGF∽△DGA. ∴ ∵AF=AD ∴ 设GF=2a,则AG=3a, ∴GD=a,∴FD=DG-GF==a ∵∠CBD=∠ABD,∠ABD=∠ADB,∴∠CBD=∠ADB. ∴.∴, 设EG=2k,则MG=BG=3k 过点F作FQ∥ED交AE于Q, ∴.∴,∴GQ=EG= ∴QE= ∴MQ=MG+GQ=3k+= ∵FQ∥ED, ∴. ∴FM=FN. |