试题分析:(1)先根据勾股定理求得PB的长,再利用互余关系证得△APB∽△DCP,最后根据相似三角形的性质及即可求得结果; (2)①过F作FG⊥AD,垂足为G,同(1)的方法证明△APB∽△DCP,得相似比,再利用锐角三角函数的定义求值; ②如图3,画出起始位置和终点位置时,线段EF的中点O1,O2,连接O1O2,线段O1O2即为线段EF的中点经过的路线长,也就是△BPC的中位线. (1)在矩形ABCD中,,AP=1,CD=AB=2, ∴PB=,. ∵, ∴. ∴. ∴ △ABP∽△DPC. ∴,即. ∴PC=2; (2)①∠PEF的大小不变. 理由:过点F作FG⊥AD于点G.
∴四边形ABFG是矩形 ∴ ∴GF=AB=2, ∵ ∴ ∴ ∴ △APE∽△GFP ∴ ∴在Rt△EPF中,tan∠PEF= 即tan∠PEF的值不变 ∴∠PEF的大小不变. ②如图所示: 设线段EF的中点为O,连接OP,OB, ∵在Rt△EPF中,OP=EF, 在Rt△EBF中,OB=EF, ∴OP=OB=EF, ∴O点在线段BP的垂直平分线上, ∴线段EF的中点经过的路线长为 点评:解答本题的关键是熟记相似三角形的对应边成比例,注意对应字母写在对应位置上. |