如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE.(1)求证:

如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE.(1)求证:

题型:不详难度:来源:
如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE.

(1)求证:BH=AC;
(2)求证:BG2-GE2=EA2
答案
(1)(2)证明详见解析.
解析

试题分析:(1)根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC,∠ABE=∠DCA,推出DB=CD,根据ASA证出△DBH≌△DCA即可.(2)根据DB=DC和F为BC中点,得出DF垂直平分BC,推出BG=CG,根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE,在Rt△CGE中,由勾股定理即可推出答案.
试题解析:(1)∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°,∠ABC=45°,
∴∠BCD=45°=∠ABC,∠A+∠DCA=90°,∠A+∠ABE=90°.
∴DB=DC,∠ABE=∠DCA.
在△DBH和△DCA中,∵∠DBH=∠DCA,BD=CD,∠BDH=∠CDA,
∴△DBH≌△DCA(ASA).∴BH=AC.
(2)连接CG,
∵F为BC的中点,DB=DC,∴DF垂直平分BC. ∴BG=CG.
∵∠ABE=∠CBE,BE⊥AC,∴∠AEB=∠CEB.
在△ABE和△CBE中,∵∠AEB=∠CEB,BE=BE,∠CBE=∠ABE,
∴△ABE≌△CBE(ASA).∴EC=EA.
在Rt△CGE中,由勾股定理得:CG2﹣GE2=EC2.
∴BG2﹣GE2=EA2.

举一反三
如图,分别以△ABC的边AB、AC向外作等边△ABE和等边△ACD,直线BD与直线CE相交于点O.

(1)求证:CE=BD;
(2)如果当点A在直线BC的上方变化位置,且保持∠ABC和∠ACB都是锐角,那么∠BOC的度数是否会发生变化?若变化,请说明理由;若不变化,请求出∠BOC的度数:
(3)如果当点A在直线BC的上方变化位置,且保持∠ACB是锐角,那么∠BOC的度数是否会发生变化?若变化,请直接写出变化的结论,不需说明理由;若不变化,请直接写明结论.
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如图,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是(  )
A.∠M=∠NB.AM∥CN
C.AC=BDD.AM=CN

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三角形中,到三边距离相等的点是:(    )
A.三条高线的交点B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点

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若等腰三角形的一边长等于5,另一边长等于3,则它的周长等于:(   ).
A.10B.11C.13D.11或13

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如图,在三角形ABC中,∠C=90,AC=4cm,AB=7cm,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,则EB的长是:(   )
A.3cm,B.4cmC.5cmD.不能确定

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