如图,在平面直角坐标系中,△AOB为等腰直角三角形,AB=OA,A(4,4)。(1)求B点坐标;(2)若C为x轴正半轴上一动点,以AC为直角边作等腰直角△ACD
题型:不详难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,△AOB为等腰直角三角形,AB=OA,A(4,4)。
(1)求B点坐标; (2)若C为x轴正半轴上一动点,以AC为直角边作等腰直角△ACD,∠ACD=90°连OD,求∠AOD的度数;
(3)过点A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半轴上一点,G在EF的延长线上,以EG为直角边作等腰Rt△EGH,过A作x轴垂线交EH于点M,连FM,等式=1是否成立?若成立,请证明:若不成立,说明理由.
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答案
(1)作AE⊥OB于E,∵A(4,4),∴OE=4, ∵△AOB为等腰直角三角形,且AE⊥OB,∴OE=EB=4, ∴OB=8,∴B(8,0) (2)作AE⊥OB于E,DF⊥OB于F,
∵△ACD为等腰直角三角形,∴AC=DC,∠ACD=90° 即∠ACF+∠DCF=90°,∵∠FDC+∠DCF=90°,∴∠ACF=∠FDC,又∵∠DFC=∠AEC=90°, ∴△DFC≌△CEA,∴EC=DF,FC=AE,∵A(4,4),∴AE=OE=4,∴FC=OE,即OF+EF=CE+EF, ∴OF=CE,∴OF=DF,∴∠DOF=45° ∵△AOB为等腰直角三角形,∴∠AOB=45°,∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90° 方法二:过C作CK⊥x轴交OA的延长线于K,
则△OCK为等腰直角三角形,OC=CK,∠K=45°, 又∵△ACD为等腰Rt△,∴∠ACK=90°-∠OCA=∠DCO,AC=DC,∴△ACK≌△DCO(SAS),∴∠DOC=∠K=45°,∴∠AOD=∠AOB+∠DOC=90°. (3)成立,理由如下: 在AM上截取AN=OF,连EN.∵A(4,4),
∴AE=OE=4,又∵∠EAN=∠EOF=90°,AN=OF, ∴△EAN≌△EOF(SAS) ∴∠OEF=∠AEN,EF=EN,又∵△EGH为等腰直角三角形, ∴∠GEH=45°,即∠OEF+∠OEM=45°,∴∠AEN+∠OEM=45° 又∵∠AEO=90°,∴∠NEM=45°=∠FEM,又∵EM=EM, ∴△NEM≌△FEM(SAS), ∴MN=MF,∴AM-MF=AM-MN=AN,∴AM-MF=OF, 即 方法二:在x轴的负半轴上截取ON=AM,连EN,MN,
则△EAM≌△EON(SAS),EN=EM,∠NEO=∠MEA, 即∠NEF+∠FEO=∠MEA,而∠MEA+∠MEO=90°, ∴∠NEF+∠FEO+∠MEO=90°,而∠FEO+∠MEO=45°, ∴∠NEF=45°=∠MEF,∴△NEF≌△MEF(SAS),∴NF=MF, ∴AM=OF=OF+NF=OF+MF,即. |
解析
(1)因为△AOB为等腰直角三角形,A(4,4),作AE⊥OB于E,则B点坐标可求; (2)作AE⊥OB于E,DF⊥OB于F,求证△DFC≌△CEA,再根据等量变换,证明△AOB为等腰直角三角形,则∠AOD的度数可求; (3)等式成立.在AM上截取AN=OF,连EN,易证△EAN≌△EOF,再根据角与角之间的关系,证明△NEM≌△FEM,则有AM-MF=OF,即可求证等式成立. |
举一反三
如果梯子的底端离建筑物5m,那么13m长的梯子可以达到建筑物的高度是( ) |
如图,在△ABC中,AB=AC,BD=BC,AD=DE=EB, 则∠A等于 ( )
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在△ABC中,AB=AC,∠A=∠C,则∠B= 。 |
如图,P在∠AOB的内部,PC⊥AO于C,PD⊥OB于D,PD=PC,当∠AOP=(2x-10)度,∠BOP=(x+5)度时, ∠AOB= 度.
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如图,在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子与水面的夹角为30°,此人以每秒0.5米收绳.则当收绳8秒后船向岸边移动了________米(结果保留根号)。 |
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