已知△中，（如图），点到两边的距离相等，且．（1）先用尺规作出符合要求的点（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△的形状，并说明理由；（2）设，，试用、的代数

题型：不详难度：来源：

已知△中，（如图），点到两边的距离相等，且．
（1）先用尺规作出符合要求的点（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△的形状，并说明理由；
（2）设，，试用、的代数式表示的周长和面积；
（3）设与交于点，试探索当边、的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．

答案

（1）依题意，点既在的平分线上，又在线段的垂直平分线上．
如图1，作的平分线，作线段的垂直平分线，与的   
交点即为所求的点。
                       
是等腰直角三角形．                  
理由如下：过点分别作．，垂足为、（如图2）．

∵平分，．，垂足为、，
∴．
又∵ ，
∴ ≌．
∴ ．                                                    
∵，，，
∴， 从而．                                       
又 
∴ 是等腰直角三角形．
（2）如图2，在中，，，，
∴．                                                         
由≌，≌，可得，．
∴．                        
在中，，，，
∴．   
∴．                        
所以的周长为：．                      
因为的面积=的面积的面积的面积
==
=（）．                         
【或 ．】
（3）【法1】过点分别作．，垂足为．（图3）．

易得 ．                         
由∥得   ①；
由∥得    ②                 
①+②，得 ，即 ．            
∴ ， 即 ．                        
【法2】（前面同法1）又  ，．
∴
∴．                              
∴ ，即 ．                         
【法3】过点作，垂足为（图4）．
    
在中，，                 
由∥得  ①；    ②                    
①+②，得 ，即 ．                
∴，即 ．                            
【法4】过点作∥，交射线于点（如图5）

易得 ，．             
∵∥，
∴．
∴，．                           
即 ．                                                 
【法5】过点作的平行线，交射线于点 (见图6),

得，，                     
又 ， 即 ，                               
所以 ，                                     
【法6】分别过点、分别作的平行线，交射线于点，交射线于点(见图7)．

得，                                         
又 ，     
∴ ，                                                      
即，．                                      

解析

（1）利用点既在的平分线上，又在线段的垂直平分线上作图；
（2）先求出AB的长，再求出AC+BC的长，这样三角形ABC的周长就求出来，再利用的面积=的面积的面积的面积求出的面积；
（3）利用等边代换求出结果。