已知△中，点是△的重心，过点作∥，与相交于点，与相交于点，如果△的面积为9．那么△的面积是．

题型：不详难度：来源：

已知△

中，点

是△

的重心，过点

作

∥

，与

相交于点

，与

相交于点

，如果△

的面积为9．那么△

的面积是．

答案

解析

解：如图所示，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG=2GF，
∴AG=

AF，
∴

，
即△ADE和△ABC的相似比为

，
△ADE的面积与 △ABC的面积之比 =

，
∵△ABC的面积为9，
∴△ADE的面积=

×9=4．

举一反三

如图，

中，

，

为

的中点．
操作：过点

做

的垂线，过点

作

的平行线，两直线相交于点

，在

的延长线上截取

，联结

、

．

（1）试判断

与

之间有怎样的关系，并证明你所得的结论；
（2）如果

，

，求

的长．

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用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段a、c，∠

．
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠

．
结论：

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问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点作为顶
点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？
问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：
探究一：以△ABC的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互
不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．
探究二：以△ABC的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个
互不重叠的小三角形？
在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种
情况：
一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在△PAC的内部，如图②；
另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在PA上，如图③．
显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形．
探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把△ABC分割成     个
互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．
探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共(m＋3)个点为顶点，可把△ABC分割成       个
互不重叠的小三角形．
探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共(m＋4)个点为顶点，可把四边形分割成
       个互不重叠的小三角形．
问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点作为顶点，可把原n边形分割成
       个互不重叠的小三角形．
实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互
不重叠的小三角形？(要求列式计算)