教材第66页探索平方差公式时设置了如下情境:边长为b的小正方形纸片放置在边长为a的 大正方形纸片上(如图9−6),你能通过计算未盖住部分的面积得到公式(a + b) (a − b) = a2− b2吗? (不必证明) (1)如果将小正方形的一边延长(如图①),是否也能推导公式?请完成证明.
(2) 面积法除了可以帮助我们记忆公式,还可以直观地推导或验证公式,俗称“无字证明”.例如,著名的赵爽弦图(如图②,其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为4´ab + (a − b)2,由此推导出重要的勾股定理:a2 + b2 = c2. 图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你完成证明.
(3) 试构造一个图形,使它的面积能够解释(a − 2b)2 = a2− 4ab + 4b2,画在下面的格点中,并标出字母a、b所表示的线段. |