如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，D是AB上的一点，AD＝2，在AC上是否存在一点E，使A、D、E三点组成的三角形与△ACB相似？如果存在，请求

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如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，D是AB上的一点，AD＝2，在AC上是否存在一点E，使A、D、E三点组成的三角形与△ACB相似？如果存在，请求出AE的长；如果不存在，请说明理由．

答案

解：存在．
(1)若

＝

，则△ADE∽△ABC.解得AE=

．
(2)若

＝

，则△ADE∽△ACB．解得AE=

.
所以，当AE取

或

时，A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似．

举一反三

已知如图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB 、CD 交于O 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是

[     ]
A．都相似
B．都不相似
C.   只有(1)相似
D．只有(2)相似

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如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，ADPC于G，则图中相似三角形有

[     ]
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对

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如图 (1)，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止，不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC(或它的延长线)于G、H点，如图(2).
(1)问：始终与△AGC相似的三角形有(    )及(    )；
(2)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图(2)的情况说明理由）；
(3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？

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如图，分别取等边三角形ABC各边的中点D、E、F，得△DEF，若△ABC的边长为a。
(1) △DEF与△ABC相似吗？如果相似，相似比是多少？
(2) 分别求出这两个三角形的面积．
(3) 这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？

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如图，AB =3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B、A、E在同一条直线上．
(1)求证：△ABD∽△CAE;
(2)如果AC=BD，AD=2

BD，设BD=a，求BC的长．

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