如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，AD=4，BD=1。（1）求证：△ABC∽△CBD；（2）则cosB的值为 _________

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如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，AD=4，BD=1。
（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）则cosB的值为 _________ 。

答案

（1）证明：∵CD⊥AB
∴∠BDC=90°
∴∠A+∠ACD=90°
∵∠ACB=90°
∴∠DCB+∠ACD=90°
∴∠A=∠DCB
又∵∠ACB=∠BDC=90°
∴△ABC∽△CBD。
（2）∵△ABC∽△CBD
∵AD=4，BD=1
∴

∵∠BDC=90°
∴

举一反三

如图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（点P与C、D不重合），三角板的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点A，另一直角边与BC交于点E。
（1）△ADP与△PCE相似吗？如果相似，请写出证明过程。
（2）当点P位于CD的中点时，则△PCE与△ADP的面积比为 _________ 。

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已知BD，CE是△ABC的高，BD·AC _________ AB·CE（用两种方法）．

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如图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（点P与C、D不重合），三角板的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点A，另一直角边与BC交于点E．
（1）△ADP与△PCE相似吗？如果相似，请写出证明过程．
（2）当点P位于CD的中点时，则△PCE与△ADP的面积比为 _________ ．

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下列说法正确的是[     ]
A.两个多边形的对应角相等则它们是相似形
B.两个多边形的对应边的比相等则两个多边形相似
C.所有的等腰直角三角形是相似形
D.有两组对应边相等的两个等腰三角形是相似形

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定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形。

探究：（1）如图甲，已知△ABC中∠C=90 °，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由。
（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形，我们把△DEF（图乙）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）……依次规则操作下去，n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为S_n。
①若△DEF的面积为1000，当n为何值时，3＜S_n＜4?
②当n>1时，请写出一个反映S_n-1，S_n，S_n+1之间关系的等式（不必证明）

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