在正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP=3PC，Q是CD的中点，（1）证明△ADQ∽△QCP；（2）求证：AQ⊥QP。

题型：湖南省期中题难度：来源：

在正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP=3PC，Q是CD的中点，
（1）证明△ADQ∽△QCP；
（2）求证：AQ⊥QP。

答案

证明：（1）∵BP=3PC，Q是CD的中点，
∴，
又∵∠ADQ=∠QCP=90°，
∴△ADQ∽△QCP；
（2）∵△ADQ∽△QCP，
∴∠AQD=∠QPC，∠DAQ=∠PQC，
∴∠PQC+∠DQA=DAQ+AQD=90°，
∴AQ⊥QP。