如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA=4∶3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA=4∶3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点。
（1）求证：AC·CD=PC·BC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；
（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S。

答案

解：（1）∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
又∵PC⊥CD，
∴∠PCD=90°，而∠CAB=∠CPD，
∴△ABC∽△PCD，
∴，
∴AC·CD=PC·BC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E，
∵P是AB中点，
∴∠PCB=45°，CE=BE=BC=2，
又∠CAB=∠CPB，
∴tan∠CPB=tan∠CAB=，
∴PE=，
而PC=PE+EC=，
由（1）得CD=PC=；
（3）当点P在AB上运动时，S_△PCD=PC·CD，
由（1）可知，CD=PC，
∴S_△PCD=PC²，
故PC最大时，S_△PCD取得最大值；
而PC为直径时最大，
∴S_△PCD的最大值S=×5²=。