如图，BD是⊙O的直径，A、C是⊙O上的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线交于点E。（1）求证：△ABD∽△AEB；（2）若AD=1，DE=3，求BD的长。

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如图，BD是⊙O的直径，A、C是⊙O上的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线交于点E。

（1）求证：△ABD∽△AEB；
（2）若AD=1，DE=3，求BD的长。

答案

解：（1）证明：∵AB=AC，
∴

，
∴∠ABC=∠ADB，
又∠BAE=∠DAB，
∴△ABD∽△AEB；
（2）∵△ABD∽△AEB，
∴

，
∵AD=1，DE=3，
∴AE=4，
∴AB²=AD·AE=1×4=4，
∴AB=2，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DAB=90°，
在Rt△ABD中，BD²=AB²+AD²=2²+1²=5，
∴BD=

。

举一反三

如图，已知：△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，则EC=（）。

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如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起。
（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合），求证：BH·GD=BF²；
（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG，探究：FD+DG=______，请予证明。

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如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为 BD的中点，PO的延长线交BC于Q。
（1）求证：OP=OQ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合），设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PDQB是菱形。

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如图，在△ABO中，已知点 A（

，3）、B（-1，-1）、O（0，0），正比例函数y=-x图象是直线l，直线AC∥x轴交直线l与点C。
（1）C点的坐标为_______；
（2）以点O为旋转中心，将△ABO顺时针旋转角α（90°<α＜180°），使得点B落在直线l上的对应点为B′，点A的对应点为A′，得到△A′OB′；
①∠α=_____；②画出△A′OB′；
（3）写出所有满足△DOC∽△AOB的点D的坐标。

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如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F。
（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？
（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由。

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