如图,已知C,D是双曲线y=mx(x>0)上的两点,直线CD分别交x轴,y轴于A,B两点.设C(x1,y1),D(x2,y2),连接OC,OD(O是坐标原点),

如图,已知C,D是双曲线y=mx(x>0)上的两点,直线CD分别交x轴,y轴于A,B两点.设C(x1,y1),D(x2,y2),连接OC,OD(O是坐标原点),

题型:不详难度:来源:
如图,已知C,D是双曲线y=
m
x
(x>0)上的两点,直线CD分别交x轴,y轴于A,B两点.设C(x1,y1,D(x2,y2),连接OC,OD(O是坐标原点),若∠BOC=∠AOD=α,且tanα=
1
3
,OC=


10

(1)求C,D的坐标和m的值;
(2)双曲线存在一点P,使得△POC和△POD的面积相等,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下判断点P是否为△OCD的重心.
(4)已知点Q(-2,0),问在直线AC上是否存在一点M使△MOQ的周长L取得最短?若存在,求出L的最小值并证明;若不存在,请说明理由.
答案
(1)过点C作CG⊥x轴于G,
则CG=y1,OG=x1
在Rt△OCG中,∠GCO=∠BOC=α,
∵tanα=
OG
CG
=
1
3

x2
x1
=
1
3

即y1=3x1
又∵OC=


10

∴x12+y12=10,
即x12+(3x12=10,
解得:x1=1或x1=-1(不合舍去)
∴x1=1,y1=3,
∴点C的坐标为C(1,3).
又点C在双曲线上,可得:m=3,
过D作DH⊥y轴于H,则DH=y2,OH=x2
在Rt△ODH中,tanα=
DH
OH
=
1
3

x2
y2
=
1
3

即y2=3x2
又∵x2y2=3,
∴y2=1或y2=-1(不符合舍去),
∴x2=3,y2=1,
∴点D的坐标为D(3,1);

(2)双曲线上存在点P,使得S△POC=S△POD
这个点就是∠COD的平分线与双曲线的y=
3
x
交点,
故P点坐标为(


3


3
),
∵点D(3,1),
∴OD=


10

∴OD=OC,
∴点P在∠COD的平分线上,
则∠COP=∠POD,又OP=OP
∴△POC≌△POD,
∴S△POC=S△POD

(3)延长OP交CD于M,
∵C(1,3),D(3,1),
∴根据勾股定理OC=OD=


10

∵点P在∠COD的平分线上,
∴M为CD中点,
∴M(2.,2),
∵P点坐标为(


3


3
),
∴OP=


6
,PM=


(


3
-2)2+(


3
-2)2
=-


6
+2


2

即OP≠2PM,
∴P不是△OCD的重心.

(4)∵点C的坐标为C(1,3),点D的坐标为D(3,1),
设直线CD的解析式为y=kx+b.
则有





3=k+b
1=3k+b
,解得





k=-1
b=4

∴直线CD的解析式为y=-x+4,
∵Q(-2,0),假设存在M(a,-a+4),则点M关于x轴的对称点M′为(a,4-a),
∴△MOQ的周长L=2+


2a2-4a+20

=2+


2(a-1)2+18

所以当a=1时,周长L取最小值为2+3


2

此时点M(1,3),故L取最小值为2+3


2
举一反三
小刚在一山坡上依次***三根木杆,第一根木杆与第二根木杆插在倾斜角为30°,且坡面距离是6米的坡面上,而第二根与第三根又在倾斜角为45°,且坡面距离是8米的坡面上.则第一根与第三根木杆的水平距离是______米.(如图)(精确到0.01米)
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如图,是一水库大坝横断面的一部分,坝高h=6m,近水斜坡AB=10m,斜坡的坡角为a,则tana的值是______.
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如图,飞机在目标B的正上方2000米A处,飞行员测得地面目标C的俯角α=30°,那么地面目标B、C之间的距离为______米.(结果保留根号)
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从高出海平面500米的直升飞机上,测得甲乙两船的俯角分别为45°和30°,已知两船分别在正东和正西,飞机和两船在同一铅垂面内,求两船的距离.
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如图,水坝的横断面是梯形,迎水坡AD的坡角∠A=45°,背水坡BC的坡度为1:


3
,坝顶DC宽25米,坝高45米,求:
(1)背水坡的坡角;
(2)坝底AB的长.
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