(1)过点C作CG⊥x轴于G, 则CG=y1,OG=x1, 在Rt△OCG中,∠GCO=∠BOC=α, ∵tanα==, ∴=, 即y1=3x1, 又∵OC=, ∴x12+y12=10, 即x12+(3x1)2=10, 解得:x1=1或x1=-1(不合舍去) ∴x1=1,y1=3, ∴点C的坐标为C(1,3). 又点C在双曲线上,可得:m=3, 过D作DH⊥y轴于H,则DH=y2,OH=x2 在Rt△ODH中,tanα==, ∴=, 即y2=3x2, 又∵x2y2=3, ∴y2=1或y2=-1(不符合舍去), ∴x2=3,y2=1, ∴点D的坐标为D(3,1);
(2)双曲线上存在点P,使得S△POC=S△POD, 这个点就是∠COD的平分线与双曲线的y=交点, 故P点坐标为(,), ∵点D(3,1), ∴OD=, ∴OD=OC, ∴点P在∠COD的平分线上, 则∠COP=∠POD,又OP=OP ∴△POC≌△POD, ∴S△POC=S△POD.
(3)延长OP交CD于M, ∵C(1,3),D(3,1), ∴根据勾股定理OC=OD=, ∵点P在∠COD的平分线上, ∴M为CD中点, ∴M(2.,2), ∵P点坐标为(,), ∴OP=,PM==-+2 即OP≠2PM, ∴P不是△OCD的重心.
(4)∵点C的坐标为C(1,3),点D的坐标为D(3,1), 设直线CD的解析式为y=kx+b. 则有,解得. ∴直线CD的解析式为y=-x+4, ∵Q(-2,0),假设存在M(a,-a+4),则点M关于x轴的对称点M′为(a,4-a), ∴△MOQ的周长L=2+ =2+, 所以当a=1时,周长L取最小值为2+3, 此时点M(1,3),故L取最小值为2+3. |