已知S(x)=a1x+a2x2+…+anxn,且a1,a2,…,an组成等差数列,n为正偶数,设S(1)=n2,S(-1)=n.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

已知S(x)=a1x+a2x2+…+anxn,且a1,a2,…,an组成等差数列,n为正偶数,设S(1)=n2,S(-1)=n.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

题型:崇文区一模难度:来源:
已知S(x)=a1x+a2x2+…+anxn,且a1,a2,…,an组成等差数列,n为正偶数,设S(1)=n2,S(-1)=n.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)证明S(
1
2
)<3.
答案
(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,
由题意知





na1+
n(n-1)
2
d=n2
a2-a1+a4-a3+…+an-an-1=n.






a1+
n-1
2
d=n.
d
2
n=n.

∴a1=d,d=2.an=2n-1.(6分)
证明:(Ⅱ)由S(
1
2
)=1×
1
2
+3×(
1
2
)
2
+…+(2n-1)×(
1
2
)
n
,①
1
2
S(
1
2
)=1×(
1
2
)
2
+…+(2n-3)×(
1
2
)
n
+(2n-1)×(
1
2
)n+1

①-②得,
1
2
S(
1
2
)=
1
2
+2[(
1
2
)
2
+…+(
1
2
)
n
]-(2n-1)•(
1
2
)
n+1

=
1
2
+
1
4
[1-(
1
2
)
n-1
]
1-
1
2
-(2n-1)•(
1
2
)n+1

=
3
2
-(
1
2
)n-1-(2n-1)•(
1
2
)n+1
3
2
(n是正偶数),
S(
1
2
)<3.
(13分)
举一反三
已知点(n,an)(n∈N*)在函数f(x)=-6x-2的图象上,数列{an}的前n项和为Sn
(Ⅰ)求Sn
(Ⅱ)设cn=an+8n+3,数列{dn}满足d1=c1dn+1=cdn(n∈N*).求数列{dn}的通项公式;
(Ⅲ)设g(x)是定义在正整数集上的函数,对于任意的正整数x1、x2,恒有g(x1x2)=x1g(x2)+x2g(x1)成立,且g(2)=a(a为常数,且a≠0),记bn=
g(
dn+1
2
)
dn+1
,试判断数列{bn}是否为等差数列,并说明理由.
题型:朝阳区二模难度:| 查看答案
已知{an}是等差数列,{bn}是公比为q的等比数列,a1=b1,a2=b2≠a1,记Sn为数列{bn}的前n项和,
(1)若bk=am(m,k是大于2的正整数),求证:Sk-1=(m-1)a1
(2)若b3=ai(i是某一正整数),求证:q是整数,且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项;
(3)是否存在这样的正数q,使等比数列{bn}中有三项成等差数列?若存在,写出一个q的值,并加以说明;若不存在,请说明理由;
题型:江苏难度:| 查看答案
在等差数列{an}中,若a9=6,则a7-
1
3
a3
=______.
题型:海淀区二模难度:| 查看答案
已知数列{an}的各项为正数,前n项和为Sn,若{log2an}是公差为-1的等差数列,且
lim
n→∞
Sn=
5
3
,那么a1的值为(  )
A.
10
3
B.
5
6
C.
3
10
D.
6
5
题型:孝感模拟难度:| 查看答案
已知数列{an}为等差数列.
(1)若a1=3,公差d=1,且a12+a2+a3+…+am≤48,求m的最大值;
(2)对于给定的正整数m,若a12+am+12=1,求S=am+1+am+2+…+a2m+1的最大值.
题型:东城区二模难度:| 查看答案
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