已知{an}是等差数列,{bn}是公比为q的等比数列,a1=b1,a2=b2≠a1,记Sn为数列{bn}的前n项和,(1)若bk=am(m,k是大于2的正整数)
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已知{an}是等差数列,{bn}是公比为q的等比数列,a1=b1,a2=b2≠a1,记Sn为数列{bn}的前n项和, (1)若bk=am(m,k是大于2的正整数),求证:Sk-1=(m-1)a1; (2)若b3=ai(i是某一正整数),求证:q是整数,且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项; (3)是否存在这样的正数q,使等比数列{bn}中有三项成等差数列?若存在,写出一个q的值,并加以说明;若不存在,请说明理由; |
答案
设{an}的公差为d,由a1=b1,a2=b2≠a1,知d≠0,q≠1,d=a1(q-1)(a1≠0) (1)因为bk=am,所以a1qk-1=a1+(m-1)a1(q-1),qk-1=1+(m-1)(q-1)=2-m+(m-1)q, 所以Sk-1===(m-1)a1 (2)b3=a1q2,ai=a1+(i-1)a1(q-1),由b3=ai, 所以q2=1+(i-1)(q-1),q2-(i-1)q+(i-2)=0,解得,q=1或q=i-2,但q≠1,所以q=i-2,因为i是正整数,所以i-2是整数,即q是整数,设数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1(n∈N+),设数列{an}中的某一项am(m∈N+)=a1+(m-1)a1(q-1) 现在只要证明存在正整数m,使得bn=am,即在方程a1qn-1=a1+(m-1)a1(q-1)中m有正整数解即可,qn-1=1+(m-1)(q-1),m-1==1+q+q2+qn-2,所以m=2+q+q2+qn-2,若i=1,则q=-1,那么b2n-1=b1=a1,b2n=b2=a2,当i≥3时,因为a1=b1,a2=b2,只要考虑n≥3的情况,因为b3=ai,所以i≥3,因此q是正整数,所以m是正整数,因此数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1(n∈N+)与数列{an}的第2+q+q2+qn-2项相等,从而结论成立. (3)设数列{bn}中有三项bm,bn,bp(m<n<p,m,n,p∈N+)成等差数列,则有 2a1qn-1=a1qm-1+a1qp-1,设n-m=x,p-n=y,(x,y∈N+),所以2=+qy,令x=1,y=2,则q3-2q+1=0,(q-1)(q2+q-1)=0,因为q≠1,所以q2+q-1=0,所以q=(舍去负值),即存在q=使得{bn}中有三项bm,bm+1,bm+3(m∈N+)成等差数列. |
举一反三
在等差数列{an}中,若a9=6,则a7-a3=______. |
已知数列{an}的各项为正数,前n项和为Sn,若{log2an}是公差为-1的等差数列,且Sn=,那么a1的值为( ) |
已知数列{an}为等差数列. (1)若a1=3,公差d=1,且a12+a2+a3+…+am≤48,求m的最大值; (2)对于给定的正整数m,若a12+am+12=1,求S=am+1+am+2+…+a2m+1的最大值. |
设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn=nan-2n(n-1)(n=1,2,3,…). (Ⅰ)求证:数列{an}为等差数列,并分别写出an和Sn关于n的表达式; (Ⅱ)求(++…+); (Ⅲ)是否存在自然数n,使得S1+++…+=400?若存在,求n的值;若不存在,说明理由. |
已知f(x)=log2x,若2,f(a1),f(a2),f(a3),…,f(an),2n+4,…(n∈N*)成等差数列. (1)求数列{an}(n∈N*)的通项公式; (2)设g(k)是不等式log2x+log2(3-x)≥2k+3(k∈N*)整数解的个数,求g(k); (3)在(2)的条件下,试求一个数列{bn},使得[b1+b2+…bn]=. |
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