在△ABC中,∠ABC=45°,tan∠ACB=.如图,把△ABC的一边BC放置在x轴上,有OB=14,OC=,AC与y轴交于点E.(1)求AC所在直线的函数解
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在△ABC中,∠ABC=45°,tan∠ACB=.如图,把△ABC的一边BC放置在x轴上,有OB=14,OC=,AC与y轴交于点E.(1)求AC所在直线的函数解
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在△ABC中,∠ABC=45°,tan∠ACB=
.如图,把△ABC的一边BC放置在x轴上,有OB=14,OC=
,AC与y轴交于点E.
(1)求AC所在直线的函数解析式;
(2)过点O作OG⊥AC,垂足为G,求△OEG的面积;
(3)已知点F(10,0),在△ABC的边上取两点P,Q,是否存在以O,P,Q为顶点的三角形与△OFP全等,且这两个三角形在OP的异侧?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解:(1) 在Rt△OCE中,OE=OCtan∠OCE=
,∴点E(0,
。
设直线AC的函数解析式为y=kx+
,有
,解得:k=
。
∴直线AC的函数解析式为y=
。
(2) 在Rt△OGE中,tan∠EOG=tan∠OCE=
,
设EG=3t,OG=5t,
,∴
,得t=2。
∴EG=6,OG=10。∴
/
(3) 存在。
①当点Q在AC上时,点Q即为点G,
如图1,作∠FOQ的角平分线交CE于点P
1
,
由△OP
1
F≌△OP
1
Q,则有P
1
F⊥x轴,
由于点P
1
在直线AC上,当x=10时,
y=
∴点P
1
(10,
)。
②当点Q在AB上时,如图2,
有OQ=OF,作∠FOQ的角平分线交CE于点P
2
,过点Q作QH⊥OB于点H,设OH=a,
则BH=QH=14-a,
在Rt△OQH中,a
2
+(14-a)
2
=100,
解得:a
1
=6,a
2
=8,∴Q(-6,8)或Q(-8,6)。
连接QF交OP
2
于点M.
当Q(-6,8)时,则点M(2,4);当Q(-8,6)时,则点M(1,3)。
设直线OP
2
的解析式为y=kx,则2k=4,k=2。∴y=2x。
解方程组
,得
。
∴P
2
(
);
当Q(-8,6)时,则点M(1,3).同理可求P
2
′(
)。
综上所述,满足条件的P点坐标为
(10,
)或(
)或(
)。
解析
(1)根据三角函数求E点坐标,运用待定系数法求解。
(2)在Rt△OGE中,运用三角函数和勾股定理求EG,OG的长度,再计算面积。
(3)分两种情况讨论求解:①点Q在AC上;②点Q在AB上.求直线OP与直线AC的交点坐标即可。
举一反三
计算:
.
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计算:
.
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的值等于【 】
A.1
B.
C.
D.2
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如图,甲楼AB的高度为123m,自甲楼楼顶A处,测得乙楼顶端C处的仰角为45
0
,测得乙楼底部D处的俯角为30
0
,求乙楼CD的高度(结果精确到0.1m,
取1.73).
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如图,在
中,
,则
的长为
A.4
B.
C.
D.
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