如图(1),AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G,且AB∥CD,若,小题1:求BC和OF的长;小题2:求证:三点共线;小题3:小叶从第(1)小题的计算中

如图(1),AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G,且AB∥CD,若,小题1:求BC和OF的长;小题2:求证:三点共线;小题3:小叶从第(1)小题的计算中

题型:不详难度:来源:
如图(1),AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G,且AB∥CD,若

小题1:求BC和OF的长;
小题2:求证:三点共线;
小题3:小叶从第(1)小题的计算中发现:等式成立,于是她得到这样的结论:如图(2),在中,,垂足为,设,则有等式成立.请你判断小叶的结论是否正确,若正确,请给予证明,若不正确,请说明理由.  
答案

小题1:BC=10,OF=4.8。
小题2:见解析
小题3:见解析
解析
(1)解:(第1小问共6分,若有其他方法,请酌情给分)
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°---------------1分
又∵AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G
∴BO,CO分别平分∠ABC,∠BCD---------------2分
∴∠OBC+∠OCB=90°---------------3分
又∵在Rt△ABC中,∠BOC=90°,OB=6,OC=8
---------------4分
---------------5分
即:10×OF=6×8
∴OF=4.8---------------6分
(2)(第2小问共4分)
证法一:连接OE,OG---------------1分
∵BO分别平分∠ABC

∴∠EBO=∠FBO
又∵AB,BC分别与⊙O相切于点E,F
∴∠BEO=∠BFO=90°
∴∠BOE=∠BOF---------------2分
同理:∠COG=∠COF
∵∠OBC+∠OCB=90°--------------3分
∴∠EOG=∠EOB+∠BOF+∠COF+∠COG=180°---------------4分
三点共线
证法二:连接OE,OG---------------1分
∵AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G
∴∠BFO=∠BEO=∠OGC=90°
∴在四边形OEBF中,∠EBF+∠EOF=180°---------------2分
同理:∠GCF+∠GOF=180°
∴∠EBF+∠EOF+∠GCF+∠GOF=360°
又∵AB∥CD
∴∠EBF+∠GCF=180°---------------3分
∴∠EOF+∠GOF=180°
即:三点共线---------------4分
(3)(第3小问共4分,若有其他方法,请酌情给分)
等式成立.理由如下:---------------1分
证法一:∵ ,∠A为公共角
∴△ACD∽△ABC

     ---------------2分
     
                                 
同理
   ---------------3分

          ---------------4分
证法二:tan∠CAB=---------------2分
---------------3分
   ∴
     ---------------4分                                            
证法三∵
    ---------------2分
,   ∴
---------------3分



 
举一反三
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=5,tanC=.求腰AB的长.
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sin45º+(-2)0
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如图,一艘舰艇在海面下500米A点处测得俯角为30°前下方的海底C处有黑匣子信号发出,继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60°前下方的海底C处有黑匣子信号发出,求海底黑匣子C点距离海面的深度(结果保留根号).
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在△ABC中,(tanC-1)2 +∣-2cosB∣=0则∠A=       。
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在△ABC中,若∠A、∠B满足|cosA-|+(sinB-)2=0,则∠C=       
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