在锐角三角形ABC中，BC=4，sinA=，（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．

题型：湖北省中考真题难度：来源：

在锐角三角形ABC中，BC=4，sinA=，
（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；
（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．

答案

（1）解：作直径CD，连接BD，
∵CD是直径，∴∠DBC=90°，
∠A=∠D，∵BC=4，sin∠A=，
∴sin∠D==，∴CD=5，
答：三角形ABC外接圆的直径是5．
（2）解：连接IC．BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E，
∴AB=BC=4，I为△ABC内心，
∴BF⊥AC，AF=CF，
∴sin∠A==，
∴BF=，
在Rt△ABF中，
由勾股定理得：AF=CF=，AC=2AF=，
∴I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，
∴IE=IF=IG，设IE=IF=IG=R，
∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积，
∴AB×R+BC×R+AC×R=AC×BF，即4×R+4×R+×R=×，
∴R=，在△AIF中，AF=，IF=，
由勾股定理得：AI=．
答：AI的长是．