如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠BPC=60°，AB与PC交于Q点。（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）求证：；（3）若∠ABP=1

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠BPC=60°，AB与PC交于Q点。
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）求证：；
（3）若∠ABP=15°，△ABC的面积为4，求PC的长．

答案

解：（1）∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）如图，过B作BD∥PA交PC于D，则∠BDP=∠APC=60°，
又∵∠AQP=∠BQD，
∴△AQP∽△BQD，，
∵∠BPD=∠BDP=60°，
∴PB=BD，
∴；
（3）设正△ABC的高为h，则h=BC·sin60°，
∵BC·h=4，即BC·BC·sin60°=4，解得BC=4，
连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E，
由△ABC是正三角形知∠BOC=120°，从而得∠OCE=30°，
∴，
由∠ABP=15°得∠PBC=∠ABC+∠ABP=75°，于是∠POC=2∠PBC=150°，
∴∠PCO=（180°-150°）÷2=15°，
如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，
使∠GNM=15°，则∠RNG=30°，作GH⊥RN，垂足为H，
设GH=1，则cos∠GNM=cos15°=MN，
∵在Rt△GHN中，NH=GN·cos30°，GH=GN·sin30°，
于是RH=GH，MN=RN·sin45°，
∴cos15°=，
在图中，作OF⊥PC于E，
∴PC=2FD=2OC·cos15°=。