如图,AB为⊙O的直径,CD为弦,且CD⊥AB,垂足为H.(1)若∠BAC=30°,求证:CD平分OB.(2)若点E为的中点,连接0E,CE.求证:CE平分∠O
题型:不详难度:来源:
如图,AB为⊙O的直径,CD为弦,且CD⊥AB,垂足为H.
(1)若∠BAC=30°,求证:CD平分OB. (2)若点E为的中点,连接0E,CE.求证:CE平分∠OCD. (3)若⊙O的半径为4,∠BAC=30°,则圆周上到直线AC距离为3的点有多少个?请说明理由. |
答案
(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)2,理由见解析. |
解析
试题分析:(1)根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°,而∠BAC=30°,所以∠B=60°,于是可判断△OBC为等边三角形,根据等边三角形的性质由CD⊥OB易得CD平分OB; (2)由点E为的中点,根据垂径定理的推论得OE⊥AB,则OE∥CD,根据平行线的性质得∠OEC=∠ECD,而∠OEC=∠OCE,所以∠OCE=∠ECD; (3)作OF⊥AC于F,交⊙O于G,根据含30度的直角三角形三边的关系得OF=OA=2,则GF=OG-OF=2,于是可得到在弧AC上没有一个点到AC的距离为3cm,在弧AEC上有两个点到AC的距离为3cm. 试题解析:(1)证明:∵AB为⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∵∠BAC=30°, ∴∠B=60°, 而OC=OB, ∴△OBC为等边三角形, ∵CD⊥OB, ∴CD平分OB; (2)证明:∵点E为的中点, ∴OE⊥AB, 而CD⊥AB, ∴OE∥CD ∴∠OEC=∠ECD, ∵OC=OE, ∴∠OEC=∠OCE, ∴∠OCE=∠ECD, 即CE平分∠OCD; (3)圆周上到直线AC距离为3的点有2个.理由如下: 作OF⊥AC于F,交⊙O于G,如图,
∵OA=4,∠BAC=30°, ∴OF=OA=2, ∴GF=OG-OF=2,即在上到AC的最大距离为2cm, ∴在上没有一个点到AC的距离为3cm, 而在上到AC的最大距离为6cm, ∴在上有两个点到AC的距离为3cm. 考点: 圆的综合题. |
举一反三
如图所示,⊙O1、⊙O2的圆心O1、O2在直线l上,⊙O1的半径为2,⊙O2的半径为3,O1O2=8,⊙O1以每秒1个单位的速度沿直线l向右平移运动,7秒后停止运动,此时⊙O1 与⊙O2的位置关系是( ).
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如图所示,已知扇形AOB的半径为6cm,圆心角的度数为120°,若将此扇形围城一个圆锥,则圆锥的侧面积是( ).
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如图,⊙O的直径CD=10,弦AB=8,AB⊥CD,垂足为M,则DM的长为 .
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如图,AB是⊙O的直径,∠CAB=∠DAB.求证:AC=AD.
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如图,AB是⊙O的直径,,M是弧AB的中点,OC⊥OD,△COD绕点O旋转与△AMB的两边分别交于E、F(点E、F与点A、B、M均不重合),与⊙O分别交于P、Q两点.
(1)求证:; (2)连接PM、QM,试探究:在△COD绕点O旋转的过程中,∠PMQ是否为定值?若是,求出∠PMQ的大小;若不是,请说明理由; (3)连接EF,试探究:在△COD绕点O旋转的过程中,△EFM的周长是否存在最小值?若存在,求出其最小值;若不存在,请说明理由 |
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