如图,AB是⊙O的直径,,M是弧AB的中点,OC⊥OD,△COD绕点O旋转与△AMB的两边分别交于E、F(点E、F与点A、B、M均不重合),与⊙O分别交于P、Q
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如图,AB是⊙O的直径,,M是弧AB的中点,OC⊥OD,△COD绕点O旋转与△AMB的两边分别交于E、F(点E、F与点A、B、M均不重合),与⊙O分别交于P、Q
题型:不详
难度:
来源:
如图,AB是⊙O的直径,
,M是弧AB的中点,OC⊥OD,△COD绕点O旋转与△AMB的两边分别交于E、F(点E、F与点A、B、M均不重合),与⊙O分别交于P、Q两点.
(1)求证:
;
(2)连接PM、QM,试探究:在△COD绕点O旋转的过程中,∠PMQ是否为定值?若是,求出∠PMQ的大小;若不是,请说明理由;
(3)连接EF,试探究:在△COD绕点O旋转的过程中,△EFM的周长是否存在最小值?若存在,求出其最小值;若不存在,请说明理由
答案
(1)证明见解析;(2)是,135°;(3)存在,9.
解析
试题分析:(1)根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠AMB=90°,由M是弧AB的中点得弧MB=弧MA,于是可判断△AMB为等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得∠ABM=∠BAM=∠OMA=45°,OM⊥AB,MB=
AB=6,再利用等角的余角相等得∠BOE=∠MOF,则可根据“SAS”判断△OBE≌△OMF,所以OE=OF;
(2)根据圆周角定理得到∠BMQ=
∠BOQ,∠AMP=
∠AOP,则∠BMQ+∠AMP=
(∠BOQ+∠AOP)=45°,所以∠PMQ=∠BMQ+∠AMB+∠AMP=135°;
(3)易得△OEF为等腰直角三角形,则EF=
OE,再由△OBE≌△OMF得BE=MF,所以△EFM的周长=EF+MF+ME=EF+MB=
OE+6,根据垂线段最短得当OE⊥BM时,OE最小,此时OE=
BM=3,所以△EFM的周长的最小值为9.
试题解析:(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠AMB=90°,
∵M是弧AB的中点,
∴
,
∴MA=MB,
∴△AMB为等腰直角三角形,
∴∠ABM=∠BAM=45°,∠OMA=45°,OM⊥AB,MB=
AB=
×6
=6,
∴∠MOE+∠BOE=90°,
∵∠COD=90°,
∴∠MOE+∠MOF=90°,
∴∠BOE=∠MOF,
在△OBE和△OMF中,
,
∴△OBE≌△OMF(SAS),
∴OE=OF;
(2)解:∠PMQ为定值.
∵∠BMQ=
∠BOQ,∠AMP=
∠AOP,
∴∠BMQ+∠AMP=
(∠BOQ+∠AOP),
∵∠COD=90°,
∴∠BOQ+∠AOP=90°,
∴∠BMQ+∠AMP=
×90°=45°,
∴∠PMQ=∠BMQ+∠AMB+∠AMP=45°+90°=135°;
(3)解:△EFM的周长有最小值.
∵OE=OF,
∴△OEF为等腰直角三角形,
∴EF=
OE,
∵△OBE≌△OMF,
∴BE=MF,
∴△EFM的周长=EF+MF+ME=EF+BE+ME=EF+MB=
OE+6,
当OE⊥BM时,OE最小,此时OE=
BM=
×6=3,
∴△EFM的周长的最小值为3+6=9.
考点: 圆的综合题.
举一反三
如图,C是⊙O上一点,O为圆心,若∠C=40°,则∠AOB为( )
A.20°
B.40°
C.80°
D.160°
题型:不详
难度:
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若⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离为4cm,那么点A与⊙O的位置关系是( )
A.点A在圆外
B.点A在圆上
C.点A在圆内
D.不能确定
题型:不详
难度:
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如果圆的半径为6,那么60°的圆心角所对的弧长为______.
题型:不详
难度:
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如图,在标有刻度的直线
上,从点A开始,
以AB=1为直径画半圆,记为第1个半圆;
以BC=2为直径画半圆,记为第2个半圆;
以CD=4为直径画半圆,记为第3个半圆;
以DE=8为直径画半圆,记为第4个半圆.……,
按此规律,连续画半圆,则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的
倍。第
个半圆的面积为
.(结果保留
)
题型:不详
难度:
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如图,已知在⊙O中,弦AB的长为8cm,半径为5 ㎝, 过O作OC
AB求点O与AB的距离.
题型:不详
难度:
|
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