试题分析:(1)连接OD、CD,先根据切线的性质得到OD⊥DE,即∠1+∠2=90°,再根据圆周角定理可得∠BDC=90°,再结合E为AC的中点,根据直角三角形的性质可得DE=CE=AE=AC,即得∠2=∠3,根据元的基本性质可得∠1=∠4,即得∠3+∠4=∠1+∠2=90°,从而证得结论; (2)分别证得△ACD∽△ABC与△ACD∽△BCD,根据相似三角形的性质可得,,由AD:DB=3:2可设AD=3k,DB=2k,则AB=5k,即可求得结果. (1)连接OD、CD
∵DE是⊙O的切线,切点为D ∴OD⊥DE于D ∴∠ODE=90°,即∠1+∠2=90°; ∵BC为⊙O的直径 ∴∠BDC=90° ∴∠ADC=90° ∵E为AC的中点 ∴DE=CE=AE=AC ∴∠2=∠3 ∵⊙O中,OC=OD ∴∠1=∠4 ∴∠3+∠4=∠1+∠2=90° ∴OC⊥AC于C ∴AC是⊙O的切线; (2)∵∠ACD=∠BDC=90°,∠A=∠A ∴△ACD∽△ABC 同理:△ACD∽△BCD ∴① ② ∵AD:DB=3:2 ∴设AD=3k,DB=2k,则AB=5k ∴①
②
∴. 点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型. |