如图,在平面直角坐标系中,⊙D与坐标轴分别相交于A(-,0),B(,0),C(0,3)三点.(1)求⊙D的半径;(2)E为优弧AB一动点(不与A,B,C三点重合
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如图,在平面直角坐标系中,⊙D与坐标轴分别相交于A(-,0),B(,0),C(0,3)三点. (1)求⊙D的半径; (2)E为优弧AB一动点(不与A,B,C三点重合),EN⊥x轴于点N,M为半径DE的中点,连接MN,求证:∠DMN=3∠MNE; (3)在(2)的条件下,当∠DMN=45°时,求E点的坐标. |
答案
(1)解:由于OA=OB= ,且OD⊥AB,根据垂径定理知圆心D必在y轴上; 连接AD,设⊙D的半径为R,则AD=R,OD=3-R; Rt△ADO中,根据垂径定理得: ,解得R=2; 即⊙D的半径为2; (2)证明:过D作DH⊥EN于H,连接MH; 易知四边形DHNO是矩形,则HN=OD=1; Rt△DHE中,MH是斜边DE的中线, ∴DM="ME=MH=1" 2 DE=1; ∴△MEH、△MHN是等腰三角形,即∠MEH=∠MHE=2∠MNE; ∵∠DMH=∠E+∠MHE,故∠DMH=3∠MNE; (3)解:∵∠DMN=45°, ∴∠MNE=15°,∠E=30°; Rt△DHE中,DE=2,∠E=30°; ∴DH=1,EH= ; ∴EN="EH+HN=" +1; 故E(1, +1), 根据轴对称性可知,点E在第二象限的对称点(-1,+1)也可以. 故点E的坐标为:(1, +1)或(-1, +1). |
解析
(1)由于A、B关于y轴对称,由垂径定理知圆心D必在y轴上,可连接AD,在Rt△OAD中,用半径表示出OD、AD的长,然后利用勾股定理求半径的长. (2)过D作EN的垂线,设垂足为H,易证得四边形DHBO是矩形,则BH=OD=1;连接MH,在Rt△EDH中,MH是斜边DE上的中线,则MH=ME=DM=1,由此可知∠E=∠MHE=2∠B;由于∠DMN是△MEB的外角,根据三角形外角的性质即可得出本题所求的结论; (3)根据(2)的结论,易求得∠E=30°,在Rt△DEH中,根据⊙D的半径及∠E的度数,即可求出DH、EH的长,也就得出了E点的坐标,再根据对称性即可求出另一种情况的点E的坐标. |
举一反三
已知每个网格中小正方形的边长都是1,如图中的阴影图案是由三段以格点为圆心,半径分 别为1和2的圆弧围成.则阴影部分的面积是 . |
如图,AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上,∠BAC=50°,则∠ADC=_________ |
如图,在正方形网格图中建立一直角坐标系,一条圆弧经过网格点A(0,2),B(4,2)C (6,0),解答下列问题: (1)请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置,则D点坐标为________ ; (2)连结AD,CD,求⊙D的半径(结果保留根号); (3)求扇形DAC的面积. (结果保留π) |
已知⊙O1半径为3cm,⊙O2的半径为7cm,若⊙O1和⊙O2的公共点不超过1个,则两圆的圆心距不可能为( ) A.0cm B.4cm C.8cm D.12cm |
一个圆锥的高线长是8cm,底面直径为12cm,则这个圆锥的侧面积是 . |
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