如图,⊙O的圆心在坐标原点,半径为2,直线y=x+b(b>0)与⊙O交于A、B两点,点O关于直线y=x+b的对称点O′,(1)求证:四边形OAO′B是菱形;(2
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如图,⊙O的圆心在坐标原点,半径为2,直线y=x+b(b>0)与⊙O交于A、B两点,点O关于直线y=x+b的对称点O′, (1)求证:四边形OAO′B是菱形; (2)当点O′落在⊙O上时,求b的值. |
答案
(1)证明:∵点O、O′关于直线y=x+b的对称, ∴直线y=x+b是线段OO′的垂直平分线,∴AO=AO′,BO=BO′。 又∵OA,OB是⊙O的半径,∴OA=OB。 ∴AO=AO′=BO=BO′。∴四边形OAO′B是菱形. (2)解:如图,设直线y=x+b与x轴、y轴的交点坐标分别是
N(-b,0),P(0,b),AB与OO′相交于点M。 则△ONP为等腰直角三角形,∴∠OPN=45°。 ∵四边形OAO′B是菱形,∴OM⊥PN。 ∴△OMP为等腰直角三角形。 当点O′落在圆上时,OM=OO′=1。 在Rt△OMP中,由勾股定理得:OP=,即b=。 |
解析
一次函数综合题,线段中垂线的判定和性质,菱形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理。 (1)根据轴对称得出直线y=x+b是线段OO′D的垂直平分线,根据线段中垂线上的点到比下有余两端的距离相等得出AO=AO′,BO=BO′,从而得AO=AO′=BO=BO′,即可推出答案。 (2)设直线y=x+b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(-b,0),P(0,b),得出等腰直角三角形ONP,求出OM⊥NP,求出MP=OM=1,根据勾股定理求出即可。 |
举一反三
如图,PAB和PCD是⊙O的两条割线,弧AC度数为,弧BD度数为,则∠P= |
如图,一扇形纸扇完全打开后,两竹条OA和OB的夹角为,OC长为8cm,贴纸部分CA长为15cm,则贴纸部分面积为 |
如图,点O是⊙O的圆心,点A、B、C在⊙O上,AO∥BC,∠AOB=40°,则∠OAC的度数等于 ( ).
A.40° B.60° C. 50° D. 20° |
母线长为4,底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为___________。 |
如图,在⊙O中,∠AOB=46º,则∠ACB= ▲ º. |
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