如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）.若⊙P过A、B、E三点(圆

题型：不详难度：来源：

如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）.若⊙P过A、B、E三点(圆心在轴上)，抛物线经过A、C两点，与轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1.
小题1:求B点坐标；
小题2:求证：ME是⊙P的切线；
小题3:设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，①求△ACQ周长的最小值；②若FQ＝，△ACQ的面积 S_△ACQ＝，直接写出与之间的函数关系式.

答案

小题1:B点坐标为（2，2）
小题2:见解析。
小题3:见解析。

解析

解：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC＝

∵正方形CDEF面积为1∴CD＝CF＝1
根据圆和正方形的对称性知OP＝PC＝
∴BC＝2PC＝2………1分
而PB＝PE，

∴
解得n=1   (舍去)     …………… 2分
∴BC＝OC＝2 ∴B点坐标为（2，2）………3分
（2）如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0）
∵A，C在抛物线上∴    ∴
∴抛物线的解析式为
即…………………………………………………………… 4分
∴抛物线的对称轴为,即EF所在直线
∵C与G关于直线对称， ∴CF＝FG＝1 ∴FM＝FG＝
在Rt△PEF与Rt△EMF中
＝， ∴=∴△PEF∽△EMF    …………5分
∴∠EPF＝∠FEM∴∠PEM＝∠PEF+∠FEM＝∠PEF+∠EPF＝90°
∴ME与⊙P相切……………………………………………………………………6分
（注：其他方法，参照给分）
（3）①如图乙，延长AB交抛物线于，连交对称轴x=3于Q，连AQ
AQ＝Q，△ACQ周长的最小值为（AC+C）的长……………………………7分
∵A与关于直线x=3对称∴A（0，2），（6，2）
∴C＝，
而AC=…………………8分
∴△ACQ周长的最小值为
 ……………………………9分
②当Q点在F点上方时，S＝t+1  ……10分
当Q点在线段FN上时，S＝1-t  ……11分
当Q点在N点下方时，S＝t-1   ……12分