已知：AE是△ABC的外接圆的直径，AD是△ABC的高（1）求证：AC•AB=AE•AD；（2）若AD=6，BD=8，CD=3，求直径AE．

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已知：AE是△ABC的外接圆的直径，AD是△ABC的高
（1）求证：AC•AB=AE•AD；
（2）若AD=6，BD=8，CD=3，求直径AE．

答案

（1）证明：连接BE．
∵AE是直径，AD⊥BC，
∴∠ABE=90°=∠ADC．
又∵∠E=∠C（同弧所对的圆周角相等），
∴△ABE∽△ADC．
∴

，
∴AC•AB=AE•AD．

（2）∵AD=6，BD=8，CD=3，
∴AB=10，AC=3

．
∴10×3

=6×AE，
∴AE=5

．

举一反三

如图⊙O是2×2正方形网格中的一个最大内切圆，则sinα=（　　）

A．

B．

C．

D．

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如图，⊙O与⊙P相交于B、C两点，BC是⊙P的直径，且把⊙O分成度数的比为1：2的两条弧，A是

BmC

上的动点（不与B、C重合），连接AB、AC分别交⊙P于D、E两点．
（1）当△ABC是锐角三角形（图①）时，判断△PDE的形状，并证明你的结论；
（2）当△ABC是直角三角形、钝角三角形时，请你分别在图②、图③中画出相应的图形（不要求尺规作图），并按图①标记字母；
（3）在你所画的图形中，（1）的结论是否成立？请就钝角的情况加以证明．

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如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为（　　）

A．40°

B．50°

C．60°

D．70°

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如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB=

，则弦AB所对圆周角的度数为（　　）

A．30°

B．60°

C．30°或150°

D．60°或120°

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小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙0中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE=BE．请证明此结论；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙0的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；
（3）如图3，PA．PB组成⊙0的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．

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