如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC,OE⊥BC,OE=12BC.将△ACD沿AC折叠为△ACF,将△ABD沿AB折叠为△ABG,延长FC和GB相交于点H.①∠

如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC,OE⊥BC,OE=12BC.将△ACD沿AC折叠为△ACF,将△ABD沿AB折叠为△ABG,延长FC和GB相交于点H.①∠

题型:不详难度:来源:
如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC,OE⊥BC,OE=
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2
BC.将△ACD沿AC折叠为△ACF,将△ABD沿AB折叠为△ABG,延长FC和GB相交于点H.
①∠BAC=45°;
②四边形AFHG是正方形;
③BC=BG+CF;
④若BD=6,CD=4,则AD=10.
以上说法正确的有(  )
A.4个B.3个C.2个D.1个

答案
连接OB和OC;
∵OE⊥BC,
∴BE=CE;
∵OE=
1
2
BC,
∴∠BOC=90°,
∴∠BAC=45°,选项①正确;
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°;
由折叠可知,AG=AF=AD,∠AGH=∠AFH=90°,
∠BAG=∠BAD,∠CAF=∠CAD,
∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°;
∴∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°;
∴四边形AFHG是正方形,选项②正确;
由折叠可得:BD=BG,CD=CF,
∴BC=BD+CD=BG+CF,选项③正确,
由②得,∠BHC=90°,GH=HF=AD,GB=BD=6,CF=CD=4;
设AD的长为x,则BH=GH-GB=x-6,CH=HF-CF=x-4.
在Rt△BCH中,BH2+CH2=BC2
∴(x-6)2+(x-4)2=102
解得,x1=12,x2=-2(不合题意,舍去);
∴AD=12.选项④错误,
则正确的选项有3个.
故选B
举一反三
如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,且AC=CD.
(1)求证:OCBD;
(2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,试确定四边形OBDC的形状.
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如图,△ABC内接于⊙O,BC=a,CA=b,∠A-∠B=90°,则⊙O的半径为______.
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如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为⊙O的直径,AD=6,则BC=______.
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如图,CD是半圆的直径,O为圆心,E是半圆上一点,且∠EOD=93°,A是DC延长线上一点,AE与半圆相交于点B,如果AB=OC,则∠EAD=______°,∠EOB=______°,∠ODE=______.
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已知
AB
CD
是同圆中的两条弧,且
CD
=2
AB
,那么弦AB与
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2
CD的大小关系是(  )
A.AB<
1
2
CD
B.AB>
1
2
CD
C.AB=
1
2
CD
D.无法确定
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