如图,在△ABC中,AB>AC,∠A的平分线交△ABC的外接圆于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC的延长线于F.求证:BE=CF.

如图,在△ABC中,AB>AC,∠A的平分线交△ABC的外接圆于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC的延长线于F.求证:BE=CF.

题型:不详难度:来源:
如图,在△ABC中,AB>AC,∠A的平分线交△ABC的外接圆于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC的延长线于F.求证:BE=CF.魔方格
答案

魔方格
证明:连接DB、DC,
∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BAD=∠CAD,DE=DF,




DB
=




DC

∴DB=DC,
∵∠BED=∠DFC=90°,DE=DF,





BD=BC
DE=DF

∴△DEB≌△DFC(HL),
∴BE=CF.
举一反三
如图所示,AB,AC是⊙O的弦,AD⊥BC于D,交⊙O于F,AE与⊙O的直径,试问两弦BE与CF的大小有何关系,说明理由.魔方格
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已知⊙O中,两弦AB和CD相交于点P,若AP:PB=2:3,CP=2cm,DP=12cm,则弦AB的长为______cm.
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如图A、B、C、D是⊙O上的四点,若∠ACD=30°,则∠ABD=______.魔方格
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如图,AB是⊙O的弦,点D是


AB
的中点,过B作AB的垂线交AD的延长线于C.
求证:AD=DC.魔方格
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我们学习了“弧、弦、圆心角的关系”,实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下:圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角i两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们对应的其余各组量也相等.(弦心距指从圆心到弦的距离(如图(1)中的OC、OC′),弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度.)
请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题.
如图(2),O是∠EPF的平分线上一点,以点O为圆心的圆与角的两边分别交子点A、B、C、D.
(1)求证:AB=CD;
(2)若角的顶点P在圆上或圆内,上述结论还成立吗?若不成立,请说明理由;若成立,请加以证明.

魔方格
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