如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE。（1）求证：∠C=∠BED； （2）如果AB=1

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE。
（1）求证：∠C=∠BED；
（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；
（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积。

答案

解：（1）∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，
又∵OC⊥AD，
∴∠OFA=90°，
∴∠AOC+∠BAD=90°，
∴∠C=∠BAD，
又∵∠BED=∠BAD，
∴∠C=∠BED； （2）由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD=，
∴tan∠C=，
在Rt△OAC中，tan∠C=，且OA=AB=5，
∴，
解得； （3）∵OC⊥AD，
∴，
∴，
又∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠EDA，
∴，
∴AE=BD，
∴AE=BD=DE，
∴，
∴∠BAD=30°，
又∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD=AB=5，DE=5，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=，
过点D作DH⊥AB于H，
∵∠HAD=30°，
∴DH=AD=，
∴四边形AEDB的面积=。