如图①，AB为⊙O的直径，Q为AB上任意一点，射线PQ⊥AB于Q，C为QP上任意一点，直线AC与⊙O交于点D，过D作⊙O的切线交QP于P。（1）当Q在OB上时，

题型：天津期末题难度：来源：

如图①，AB为⊙O的直径，Q为AB上任意一点，射线PQ⊥AB于Q，C为QP上任意一点，直线AC与⊙O交于点D，过D作⊙O的切线交QP于P。
（1）当Q在OB上时，求证：PC=PD。
（2）当Q在点O时（如图②），PC=PD是否成立？
（3）当Q在点B时（如图③），结论是否成立？

答案

证明:（1）连接OD ∵PD是⊙O的切线
∴∠PDC+∠ADO=90°
∵OA=OD
∴∠A=∠ADO
∴∠PDC+∠A=90°
∵PQ⊥AB
∴∠ACQ+∠A=90°
∵∠ACQ=∠PCD
∴∠PCD=∠PDC
∴PC=PD
（2）Q在点O时，结论成立连接OD
∵PD是⊙O的切线
∴∠PDC+∠ADO=90°
∵OA=OD
∴∠A=∠ADO
∵PQ⊥AB
∴∠ACO+∠A=90°
∵∠ACO=∠PCD
∴∠PCD=∠PDC
∴PC=PD
∴Q在点O时，结论成立
（3）Q在点B时，结论也成立连接OD
∵PD是⊙O的切线 ∴∠ODP=90°
∴∠PDC+∠ADO=90°
∵OA=OD
∴∠A=∠ADO
∵PQ⊥AB
∴∠ACB+∠A=90°
∴∠ACB=∠PDC
∴PC=PD
∴Q在点B时，结论也成立