(1)证明:如图一, ∵O1,O2,F分别是AB,AC,BC边的中点, ∴O1F∥AC且O1F=AO2,O2F∥AB且O2F=AO1, ∴∠BO1F=∠BAC,∠CO2F=∠BAC, ∴∠BO1F=∠CO2F ∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点, ∴O1F=AO2=O2E,O2F=AO1=O1D,∠BO1D=90°,∠CO2E=90°, ∴∠BO1D=∠CO2E. ∴∠DO1F=∠FO2E. ∴△DO1F≌△FO2E.
(2)①如图二,延长CA至G,使AG=AQ,连接BG、AE. ∵点E是半圆O2圆弧的中点, ∴AE=CE=3 ∵AC为直径 ∴∠AEC=90°, ∴∠ACE=∠EAC=45°,AC==3, ∵AQ是半圆O2的切线, ∴CA⊥AQ, ∴∠CAQ=90°, ∴∠ACE=∠AQE=45°,∠GAQ=90° ∴AQ=AC=AG=3 同理:∠BAP=90°,AB=AP=5 ∴CG=6,∠GAB=∠QAP ∴△AQP≌△AGB. ∴PQ=BG ∵∠ACB=90°, ∴BC==4 ∴BG==2 ∴PQ=2. ②PQ⊥AF. |