如图，△ABC是边长为8 的正三角形，点P在边AB上，⊙P过点A且分别与边AC、AB交于点D、E，DF ⊥BC，垂足为 F。(1)求证：直线DF是⊙P的切线；(

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图，△ABC是边长为8 的正三角形，点P在边AB上，⊙P过点A且分别与边AC、AB交于点D、E，DF ⊥BC，垂足为 F。
(1)求证：直线DF是⊙P的切线；
(2)连接EF，若直线EF与⊙P相切，求⊙P的半径。

答案

解：(1)连接DP， AP = DP，∠A = ∠PDA    
∵△ABC是正三角形，∠A = ∠C= 60°  
∴∠PDA =∠C= 60°，∴PD//BC          
又∵DF⊥BC， PD⊥DF     ∴直线DF是⊙P的切线       
(2) ∵直线EF与⊙P相切，∴PE⊥EF     设⊙P的半径为 x，则PA = PE =x，    
∵△PAD为等边三角形， AD = x， DC =8 -x     
∵在Rt△DFC 中，∠C =60°，     ∠FDC = 30°，
∴FC =∵BC =8，∴BF
在Rt△BEF中，BE = BF =2 +  
∴，x=，⊙P的半径为