已知如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、Ｃ三点，∠DOC=2∠ACD =90°。（１）求证：直线AC是⊙O的切线； （2）如果∠ACB=75°，

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已知如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、Ｃ三点，∠DOC=2∠ACD =90°。
（１）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）如果∠ACB=75°，⊙O的半径为4，求BD的长。

答案

解：（1）∵OD=OC，∠DOC=90°，
∴∠DＯC=∠OCD=45°，
∵∠OC=2∠ACD=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠ACD+∠OCD=∠OCA =90°，
∵点C在⊙O上，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）∵OD=OC=4，∠DOC=90°，
可求CD=4 
∵∠ACB=75°，∠ACD =45°，
∴∠BCD=30°，
作DE⊥BC于点E，
∴∠DEC=90°
∴DE=DC·sin30°=2
∵∠B=45°，
∴DB=4。