如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O交BC于点D,交AC于点E,过点D作DF⊥AC,垂足为F。(1)求证:DF为⊙O的切线;(2)若过A点且与BC

如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O交BC于点D,交AC于点E,过点D作DF⊥AC,垂足为F。(1)求证:DF为⊙O的切线;(2)若过A点且与BC

题型:山东省中考真题难度:来源:
如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O交BC于点D,交AC于点E,过点D作DF⊥AC,垂足为F。(1)求证:DF为⊙O的切线;
(2)若过A点且与BC平行的直线交BE的延长线于G点,连接CG,当△ABC是等边三角形时,求∠AGC的度数。

答案

解:(1)连接AD,OD,
∵AB是⊙O的直径,
∴AD⊥BC,
∵△ABC是等腰三角形,
∴BD=DC,
∵AO=BO,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴DF⊥OD,
∴DF是⊙O的切线;
(2)∵AB是⊙O的直径,
∴BG⊥AC,
∵△ABC是等边三角形,
∴BG是AC的垂直平分线,
∴GA=GC,
又∵AG∥BC,∠ACB=60°,
∴∠CAG=∠ACB=60°,
∴△ACG是等边三角形,
∴∠AGC=60°。

举一反三
如图,半圆O的直径为AB,D是半圆上的一个动点(不与A、B重合),连接BD并延长至C,使CD=BD,过点D作半圆O的切线交AC于E点。
(1)猜想DE与AC的位置关系,并说明理由;
(2)当AB=6,BD=2时,求DE的长。
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如图,AB是⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BM,点P在右半圆上移动(点P与点A、B不重合),过点P作PC⊥AB,垂足为C;点Q在射线BM上移动(点M在点B的右边),且在移动过程中保持OQ∥AP。
(1)若PC、QO的延长线相交于点E,判断是否存在点P,使得点恰好在⊙O上?若存在,求出∠APC的大小;若不存在,请说明理由;
(2)连结AQ交PC于点F,设,试问:k的值是否随点P的移动而变化?证明你的结论。
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如图,A是以BC为直径的⊙O上一点,AD⊥BC于点D,过点B作⊙O的切线,与CA的延长线相交于点E,G是AD的中点,连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P。
(1)求证:BF=EF;
(2)求证:PA是⊙O的切线;
(3)若FG=BF,且⊙O的半径长为3,求BD和FG的长度。
题型:四川省中考真题难度:| 查看答案
如图,AB是⊙O的直径,∠BAC=60°,P是OB上一点,过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q,过点C的切线CD交PQ于D,连结OC。
(1)求证:△CDQ是等腰三角形;
(2)如果△CDQ≌△COB,求BP∶PO的值。
题型:四川省中考真题难度:| 查看答案
如图,AB切⊙O于点B,AB=4cm,AO=6cm,则⊙O的半径为(    )cm。
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