如图，AB是半⊙O的直径，弦AC与AB成30°的角，AC=CD。（1）求证：CD是半⊙O的切线；（2）若OA=2，求AC的长。

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如图，AB是半⊙O的直径，弦AC与AB成30°的角，AC=CD。

（1）求证：CD是半⊙O的切线；
（2）若OA=2，求AC的长。

答案

解：（1）连结OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°
∴∠COD=60°，
又∵AC=CD，
∴∠A=∠D=30°
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴CD是半⊙O的切线；
（2）连结BC
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，
∵

，

。

举一反三

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线

与坐标轴交于D、E。设M是AB的中点，P是线段DE上的动点。

（1）求M、D两点的坐标；
（2）当P在什么位置时，PA=PB？求出此时P点的坐标；
（3）过P作PH⊥BC，垂足为H，当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时，求梯形PMBH的面积。

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已知：如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F。

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，CF=2，求BE的长。

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如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD=60°，点A的坐标为（-2，0）。

（1）求线段AD所在直线的函数表达式；
（2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒、求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切。

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如图1，已知正方形ABCD的边长为

，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E。
（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）；（2）求四边形CDPF的周长；
（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示，是否存在点P，使BF·FG=CF·OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由。

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如图，已知直线l的解析式是

，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，一个半径为1.5的⊙C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当⊙C与直线l相切时，则该圆运动的时间为

[ ]

A.3秒或6秒
B.6秒
C.3秒
D.6秒或16秒

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