如图,B为线段AD上一点,△ABC和△BDE都是等边三角形,连接CE并延长,交AD的延长线于F,△ABC的外接圆⊙O交CF于点M。(1)求证:BE是⊙O的切线;
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如图,B为线段AD上一点,△ABC和△BDE都是等边三角形,连接CE并延长,交AD的延长线于F,△ABC的外接圆⊙O交CF于点M。(1)求证:BE是⊙O的切线;
题型:四川省中考真题
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如图,B为线段AD上一点,△ABC和△BDE都是等边三角形,连接CE并延长,交AD的延长线于F,△ABC的外接圆⊙O交CF于点M。
(1)求证:BE是⊙O的切线;
(2)求证:AC
2
=CM·CF;
(3)若过点D作DG//BE交EF于G,过G作GH//DE交DF于H,则易知△DHG是等边三角形,设△ABC、△BDE、△DHG的面积分别为S
1
、S
2
、S
3
,试探究S
1
、S
2
、S
3
之间的数量关系,并说明理由。
答案
解:(1)连结OB,
∵△ABC和△BDE都是等边三角形
∴∠ABC=∠EBD=60°
∴∠CBE=60°,∠OBC=30°
∴∠OBE=90°
∴BE是⊙O的切线
(2)连结MB,则∠CMB=180°-∠A=120°
∵∠CBF=60°+60°=120°
∴∠CMB=∠CBF
∵∠BCM=∠FCB
∴△CMB∽△CBF
∴
即
∵AC=CB
∴
;
(3)作DG//BE,GH//DE,
∵AC∥BE∥DG
∴
∵BC∥DE∥HG
∴
∴
∴
∵
,
∴
即
。
举一反三
如图,⊙O的直径AB=12,
的长为2π,D在OC的延长线上,且CD=OC。
(1)求∠A的度数;
(2)求证:DB是⊙O的切线。
(参考公式:弧长公式
,其中l是弧长,r是半径,n是圆心角度数)
题型:云南省中考真题
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如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一起的示意图,其中点B在半圆O的直径DE的延长线上,AB切半圆O于点F,且BC=OE。
(1)求证:DE∥CF;
(2)当OE=2时,若以O,B,F为顶点的三角形与△ABC相似,求OB的长。
(3)若OE=2,移动三角板ABC且使AB边始终与半圆O相切,直角顶点B在直径DE的延长线上移动,求出点B移动的最大距离。
题型:新疆自治区中考真题
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如图在边长为2的正方形ABCD中,E,F,O分别是AB,CD,AD的中点, 以O为圆心,以OE为半径画弧EF,P是
上的一个动点,连结OP,并延长OP交线段BC于点K,过点P作⊙O的切线,分别交射线AB于点M,交直线BC于点G,若
,则BK=( )。
题型:浙江省中考真题
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已知直线与⊙O相切,若圆心O到直线的距离是5,则⊙O的半径是( )。
题型:浙江省中考真题
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如图,两个等圆⊙A⊙B分别与直线l相切于点C、D,连接AB,与直线l相交于点O,∠AOC=30°,连接AC,BC,若AB=4,则圆的半径为
[ ]
A.
B.1
C.
D.2
题型:吉林省中考真题
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